Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số, trong đó tập nguồn , và tập đích không số 1 thiết phải chính là tập số thực hay tập con của tập số thực.[1]
Bài này chỉ viết về những ánh xạ đơn trị .
Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu
f : X → Y
Bạn đang đọc: Ánh xạ là gì – Wikipedia tiếng Việt\displaystyle f:X\to Y
) là một quy tắc cho mỗi phần tử x
∈
\displaystyle \in
X tương ứng với một phần tử xác định y
∈
\displaystyle \in
Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu
y = f ( x )
\displaystyle y=f(x)
,[2] nghĩa chính là
∀ x ∈ X , và ∃ ! y ∈ Y , và y = f ( x )
\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y,y=f(x)
.
Tập X đã được gọi chính là tập nguồn, tập Y đã được gọi chính là tập đích.[2]
Ánh xạ là gì – Wikipedia tiếng Việt
Với mỗi
y ∈ Y
\displaystyle y\in Y
, tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, đã được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu chính là
f
− 1
( y )
\displaystyle f^-1(y)
. Ta có
f
− 1
( y ) =
f ( x ) = y
\displaystyle f^-1(y)=\x\in X
.[3]
Với mỗi tập con
A ⊂ X
\displaystyle A\subset X
, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của
x ∈ A
\displaystyle x\in A
qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu chính là f(A). Ta có
f ( A ) =
x ∈ A
\displaystyle f(A)=\x\in A\
.[3]
Với mỗi tập con
B ⊂ Y
\displaystyle B\subset Y
, tập con của X gồm các phần tử x có ảnh
f ( x ) ∈ B
\displaystyle f(x)\in B
được gọi chính là tạo ảnh của tập B ký hiệu là
f
− 1
( B )
\displaystyle f^-1(B)
. Ta có
f
− 1
( B ) = x ∈ X
\displaystyle f^-1(B)=\x\in X
.[3]
Trong đối sánh tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng hoàn toàn có thể định nghĩa :
Một ánh xạ F \ displaystyle \ mathcal F 
F \ displaystyle \ mathcal F x ∈ X \ displaystyle x \ in X 
F \ displaystyle \ mathcal F y ∈ Y \ displaystyle y \ in Y
Vài đặc thù cơ bản
Ảnh của một tập hợp rỗng chính là một tập hợp rỗng
A = ∅ ⇔ f ( A ) = ∅ \ displaystyle A = \ emptyset \, \ Leftrightarrow f ( A ) = \ emptyset 
Ảnh của tập hợp con chính là tập hợp con của ảnh
A ⊂ B \ displaystyle A \ subset B 
⇒ f ( A ) ⊂ f ( B ) \ displaystyle \ Rightarrow f ( A ) \ subset f ( B ) 
Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
f ( A ∩ B ) ⊂ f ( A ) ∩ f ( B ) \ displaystyle f ( A \ cap B ) \ subset f ( A ) \ cap f ( B ) 
Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) \ displaystyle f ( A \ cup B ) = f ( A ) \ cup f ( B ) 
Toàn ánh, đơn ánh và tuy nhiên ánh
Toàn ánh chính là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X chính là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ đến từ X lên Y[4]
f ( X ) = Y \ displaystyle f ( X ) = Y 
hay∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X : f ( x ) = y \ displaystyle \ forall y \ in Y, \ exists x \ in X : f ( x ) = y 
Đơn ánh chính là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y. Đơn ánh còn đã được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.[5]
∀ x 1, x 2 ∈ X : x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) \ displaystyle \ forall x_ 1 , x_ 2 \ in X : x_ 1 \ neq x_ 2 \ Rightarrow f ( x_ 1 ) \ neq f ( x_ 2 ) 
hay∀ x 1, x 2 ∈ X : f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 \ displaystyle \ forall x_ 1 , x_ 2 \ in X : f ( x_ 1 ) = f ( x_ 2 ) \ Rightarrow x_ 1 = x_ 2 
Song ánh là ánh xạ vừa chính là đơn ánh, vừa chính là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 , và vừa chính là ánh xạ “onto” (từ X lên Y).[4]
Một số ánh xạ đặc biệt quan trọng
Ánh xạ chưa đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x ∈ \ displaystyle \ in y 0 \ displaystyle y_ 0 
∈ \ displaystyle \ in Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.[5]Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f đến từ tập con X ⊂ Y \ displaystyle X \ subset Y 
x ∈ X
\displaystyle x\in X
đơn ánh chính tắc).[5] Khi đó ta ký hiệu f: X ↪ \ displaystyle \ hookrightarrow 
f : X → Y \ displaystyle f : X \ to Y f ( X ) ⊂ Y \ displaystyle f ( X ) \ subset Y 
f ( X ) ⊂ Y \ displaystyle f ( X ) \ subset Y
Các phép toán
Ánh xạ hợp
Cho hai ánh xạ
f : X → Y
\displaystyle f:X\to Y
, và
g : Y → Z
\displaystyle g:Y\to Z
. Hợp của hai ánh xạ f, g, ký hiệu chính là
g ∘ f
\displaystyle g\circ f
là ánh xạ đến từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức
( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) )
\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))
(cũng được gọi chính là tích ánh xạ của f , và g).[4]
Một số đặc thù của ánh xạ hợp
Nếu ( g ∘ f ) \ displaystyle ( g \ circ f ) 
Nếu ( g ∘ f ) \ displaystyle ( g \ circ f ) Nếu ( g ∘ f ) \ displaystyle ( g \ circ f )
Ánh xạ nghịch đảo
Cho ánh xạ
f : X → Y
\displaystyle f:X\to Y
là song ánh. Nếu tồn tại ánh xạ
g : Y → X
\displaystyle g:Y\to X
sao cho
∀ x ∈ X : ( g ∘ f ) ( x ) = x
\displaystyle \forall x\in X:(g\circ f)(x)=x
∀ y ∈ Y : ( f ∘ g ) ( y ) = y
\displaystyle \forall y\in Y:(f\circ g)(y)=y
thì g đã được gọi chính là nghịch đảo, hay là ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là
f
− 1
\displaystyle f^-1
.
Ánh xạ f có nghịch đảo khi và chỉ khi f là tuy nhiên ánh. [ 6 ]
Ánh xạ thu hẹp
Cho ánh xạ
f : X → Y
\displaystyle f:X\to Y
và một tập con
E ⊂ X
\displaystyle E\subset X
. Ánh xạ thu hẹp của
f
\displaystyle f
về
E
\displaystyle E
chính là một ánh xạ đến từ
E
\displaystyle E
vào
Y
\displaystyle Y
, ký hiệu
f
|
E
_E
, xác định bởi đẳng thức
f
|
E
( x ) = f ( x )
_E(x)=f(x)
.[7] Ánh xạ thu hẹp chính là duy nhất.
Ánh xạ lan rộng ra
Cho ánh xạ
f : X → Y
\displaystyle f:X\to Y
, và một tập hợp
F
\displaystyle F
sao cho
X ⊂ F
\displaystyle X\subset F
. Một ánh xạ mở rộng của
f
\displaystyle f
tới
F
\displaystyle F
chính là một ánh xạ
f ~
\displaystyle \tilde f
đến từ
F
\displaystyle F
vào
Y
\displaystyle Y
sao cho
∀ x ∈ X :
f ~
( x ) = f ( x )
\displaystyle \forall x\in X:\tilde f(x)=f(x)
.[7] Nói chung, với mỗi ánh xạ đã cho, có nhiều ánh xạ mở rộng khả dĩ.
Các khái niệm ánh xạ khác ( dịch đến từ tiếng Anh )
^ Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 12 ^ ab Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 11 ^ abc Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 13 ^ abc Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 15 ^ abc Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 14 ^
Hoàng Xuân Sính (1972), Định lí 5, tr. 16
Zalo OA – official account Là gì vậy? Cách tạo một Zalo OA
^ ab Hoàng Xuân Sính ( 1972 ), tr. 17
Liên kết ngoài
Mapping (mathematics) tại Encyclopædia Britannica(tiếng Anh)Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), 1972, Nhà xuất bản Giáo dục