Bội số chung nhỏ nhất – Wikipedia tiếng Việt

Trong số học, bội số chung nhỏ nhất (hay còn gọi tắt là bội chung nhỏ nhất, được viết tắt chính là BCNN, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (LCM) hoặc smallest common multiple) của hai số nguyên a , và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a , và b. Tức chính là nó có thể chia cho a , b mà chưa để lại số dư. Nếu a hoặc b chính là 0, thì chưa tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng LCM(a, b) là 0.

Định nghĩa trên đôi khi đã được tổng quát hoá cho nhiều số nguyên dương: Bội chung nhỏ nhất của a1,…, an chính là số nguyên dương nhỏ nhất chính là bội số của a1,…, an.

Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b đã được ký hiệu là [a,b], BCNN(a,b) hoặc LCM(a,b).

Ký hiệu tương tự cho bội số chung nhỏ nhất của a1,…, an.

Bạn đang đọc: Bội số chung nhỏ nhất – Wikipedia tiếng Việt

Bội số chung nhỏ số 1 – Wikipedia tiếng Việt

Bội của 4 chính là :

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

(thêm 4 để đã được bội số tiếp theo).

Bội của 6 là :

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,…

( thêm 6 để được bội số tiếp theo ) .

Bội chung của 4 , và 6 chính là các số cùng xuất hiện trong hai dãy trên (không tính số 0):

12, 24, 36, 48,…

Vậy bội chung nhỏ nhất của 4 , 6 chính là 12

Khi cộng, trừ hoặc so sánh những phân số, nó đặc biệt quan trọng có ích khi tìm bội số chung của mẫu số, thường gọi chính là mẫu số chung nhỏ nhất ( hay mẫu chung nhỏ nhất ) .

2 21 + 1 6 = 4 42 + 7 42 = 11 42, \ displaystyle 2 \ over 21 + 1 \ over 6 = 4 \ over 42 + 7 \ over 42 = 11 \ over 42 ,

mẫu số 42 đã được sử dụng chính bới nó chính là bội chung nhỏ số 1 của 21 và 6 .

Tính bội số chung nhỏ nhất

Công thức dưới đây chuyển từ việc tính bội số chung nhỏ nhất sang tính ước số chung lớn số 1 ( GCD ) :

BCNN ⁡ ( a, b ) = | a ⋅ b | UCLN ⁡ ( a, b ). \ displaystyle \ operatorname BCNN ( a, b ) = \ frac \ operatorname UCLN ( a, b ) .

Có một thuật toán nhanh để tìm GCD mà chưa nhu yếu khảo sát , và phân tích ra thừa số nguyên tố, đó chính là thuật toán Euclid. Ví dụ :

BCNN ⁡ ( 21, 6 ) = 21 ⋅ 6 UCLN ⁡ ( 21, 6 ) = 21 ⋅ 6 3 = 126 3 = 42. \ displaystyle \ operatorname BCNN ( 21,6 ) = 21 \ cdot 6 \ over \ operatorname UCLN ( 21,6 ) = 21 \ cdot 6 \ over 3 = 126 \ over 3 = 42.

Bởi GCD(a, b) chính là ước số của cả a , b, nên sẽ thuật lợi hơn nếu tính LCM chỉ bằng cách chia trước khi nhân:

BCNN ⁡ ( a, b ) = ( | a | UCLN ⁡ ( a, b ) ) ⋅ | b | = ( | b | UCLN ⁡ ( a, b ) ) ⋅ | a |. q n a

Điều này làm giảm kích cỡ nguồn vào, giảm bộ nhớ cho những giá trị trung gian

Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách điều tra và phân tích ra thừa số nguyên tố

Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 hoàn toàn có thể màn biểu diễn một cách duy số 1 dạng tích những số nguyên tố ( nếu không kể đến thứ tự của những thừa số ). Như vậy những hợp số hoàn toàn có thể coi như chính là những nguyên tố cấu thành hợp số .Ví dụ :

90 = 2 1 ⋅ 3 2 ⋅ 5 1 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5. \ displaystyle 90 = 2 ^ 1 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 ^ 1 = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5. \, \ !

Ở đây mọi người có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5.

Kiến thức này hoàn toàn có thể giúp tất cả chúng ta tìm BCNN của một tập hợp những số .Ví dụ : Tìm giá trị của BCNN ( 8,9,21 ) .Đầu tiên, ta nghiên cứu , và phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa những số nguyên tố .

8 = 2 3 \ displaystyle 8 \ ; \, \ ; \, = 2 ^ 3 9 = 3 2 \ displaystyle 9 \ ; \, \ ; \, = 3 ^ 2 21 = 3 ⋅ 7 \ displaystyle 21 \ ; \, = 3 \ cdot 7

Với mỗi số nguyên tố, chọn lũy thừa cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị BCNN cần tìm. bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 , 7, có bậc cao số 1 lần lượt chính là 23, 32, 50, và 71. Do đó ,

BCNN ⁡ ( 8, 9, 21 ) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 0 ⋅ 7 1 = 8 ⋅ 9 ⋅ 1 ⋅ 7 = 504. \ displaystyle \ operatorname BCNN ( 8,9,21 ) = 2 ^ 3 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 ^ 0 \ cdot 7 ^ 1 = 8 \ cdot 9 \ cdot 1 \ cdot 7 = 504. \, \ !

Thuật toán không thực sự hiệu suất cao bằng cách rút từ ước chung lớn nhất, bởi chưa có thuật toán hiệu suất cao để phân tích số nguyên, nhưng nó hiệu suất cao trong việc minh họa khái niệm .

Với ký hiệu BCNN ⁡ ( a ; b ) = [ a ; b ] \ displaystyle \ operatorname BCNN ( a ; b ) = [ a ; b ] UCLN ⁡ ( a ; b ) = ( a ; b ) \ displaystyle \ operatorname UCLN ( a ; b ) = ( a ; b ) Tính chất giao hoán: [ a, b ] = [ b, a ] \ displaystyle [ a, b ] = [ b, a ] Tính chất kết hợp: [ a, [ b, c ] ] = [ [ a, b ], c ] \ displaystyle [ a, [ b, c ] ] = [ [ a, b ], c ] Mối quan hệ với ước chung lớn nhất: [ a, b ] = a ⋅ b ( a, b ). \ displaystyle [ a, b ] = \ frac a \ cdot b ( a, b ) . Trong trường hợp a \ displaystyle a b \ displaystyle b nguyên tố cùng nhau, thì: [ a, b ] = a ⋅ b. \ displaystyle [ a, b ] = a \ cdot b. Tính LCM của nhiều số thông qua cách tính LCM của hai số: [ a, b, c ] = [ [ a, b ], c ] ; \ displaystyle [ a, b, c ] = [ [ a, b ], c ] ; [ a 1, a 2, …, a n ] = [ [ a 1, a 2, …, a n − 1 ], a n ]. \ displaystyle [ a_ 1 , a_ 2 , \ ldots, a_ n ] = [ [ a_ 1 , a_ 2 , \ ldots, a_ n-1 ], a_ n ]. Với

k = [

a

1

,

a

2

, … ,

a

n

]

\displaystyle k=[a_1,a_2,\ldots ,a_n]

BC ⁡ ( a 1, a 2, …, a n ) = B ⁡ ( k ) \ displaystyle \ operatorname BC ( a_ 1 , a_ 2 , \ ldots, a_ n ) = \ operatorname B ( k )

^ Hardy , Wright, § 5.1, p. 48