Một số nguyên Gauss là một vài phức với phần thực và phần ảo đều là các số nguyên. Tập các số nguyên Gauss là một miền nguyên, thường được ký hiệu là Z[i].
Như vậy, những số nguyên Gauss là tập hợp
{ a + b i | a, b ∈ Z }. { \ displaystyle \ { a + bi | a, b \ in \ mathbb { Z } \ }. }
Chuẩn của số nguyên Gauss là số tự nhiên xác định bằng
Bạn đang đọc: Số nguyên Gauss được hiểu như thế nào?
Số nguyên Gauss được hiểu như thế nào?
N(a + bi) = a2 + b2.
Chuẩn có đặc thù nhân, nghĩa là
N(z·w) = N(z)·N(w).
Đơn vị của Z[i] là tất cả các phần tử có chuẩn bằng 1, nghĩa là gồm các phần tử
1, −1, i và −i.
Nếu g là số Gauss, thì các số sau được gọi là số liên kết (tiếng Anh là associate)với nó:
g, -g, ig, -ig.
Số nguyên tố Gauss
Các phần tử nguyên tố của Z[i] cũng được gọi là các số nguyên tố Gauss. Số nguyên tố Gauss không thể có ước nào khác ngoài các đơn vị của Z[i] và các liên kết của nó. Nói một phương pháp khác, số nguyên Gauss g nguyên tố khi và chỉ khi g không thể phân tích thành tích của các số nguyên Gauss p và q với chuẩn |p|>1 và |q|>1.
Một số nguyên Gauss a+bi được gọi là số nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong các tiêu chuẩn sau:
a=0 và |b| là số nguyên tố có dạng 4k+3;b=0 và |a| là số nguyên tố có dạng 4k+3;a và b đều khác 0 và a 2 + b 2 { \ displaystyle a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
Một vài số nguyên tố thông thường (đôi khi để phân biệt, chúng được gọi là các “số nguyên tố hữu tỷ”) không phải là các số nguyên tố Gauss; chẳng hạn 2 = (1 + i)(1 − i) và 5 = (2 + i)(2 − i). Các số nguyên tố hữu tỷ đồng dư với 3 (mod 4) là số nguyên tố Gauss; còn các số nguyên tố hữu tỷ đồng dư 1 (mod 4) thì không. Đó là vì số nguyên tố dạng 4k + 1 luôn có thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương (định lý Fermat về tổng của hai số chính phương), do đó ta có
p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi).
Nếu chuẩn của số nguyên Gauss z là một vài nguyên tố, thì z cũng là số nguyên tố Gauss, vì mọi ước không tầm thường của z cũng là ước không tầm thường của chuẩn. Chẳng hạn 2 + 3i là một vài nguyên tố Gauss vì chuẩn của nó là 4 + 9 = 13.
Phép chia Euclid
Tính chất của chuẩn được cho phép ta xác lập phép chia Euclid với những số nguyên Gauss :
Cho 2 số nguyên Gauss a và b, khi đó tồn tại các số nguyên q và r sao cho:
a = b . q + r
{\displaystyle a=b.q+r}
r)b
).
Ví dụ:
Cho các số nguyên Gauss:a = − 36 + 242 i { \ displaystyle a = – 36 + 242 i }
b = 50 i + 50 i { \ displaystyle b = 50 i + 50 i }
a b = 103 50 + 139 50 i { \ displaystyle { \ frac { a } { b } } = { \ frac { 103 } { 50 } } + { \ frac { 139 } { 50 } } i }
ta cần xác định số nguyên Gauss q gần với thương a b { \ displaystyle { \ frac { a } { b } } }
Trong hình vẽ bên, trên mặt phẳng số phức, thương a b { \ displaystyle { \ frac { a } { b } } }a b { \ displaystyle { \ frac { a } { b } } }q không quá 1, giá trị của q chỉ có thể là số nguyên Gauss biểu thị bởi 4 đỉnh này.Ta vẽ 4 đường tròn bán kính đơn vị nhận 4 đỉnh trên làm tâm (các đường tròn này tô màu xanh nhạt). Nếu điểm a b { \ displaystyle { \ frac { a } { b } } }q có thể nhận giá trị tại tâm đường tròn đó.Nhìn vào hình vẽ ta thấy q chỉ nằm trong 3 đường tròn có tâm là điểm tô màu đỏ, và do đó có thể nhận một trong các giá trị bằng:2 + 2 i { \ displaystyle 2 + 2 i }
2 + 3 i
{\displaystyle 2+3i}
3 + 3 i { \ displaystyle 3 + 3 i }