Tích (toán học) là gì?

0 Shares

Trong toán học, tích toán học là kết quả của phép nhân, hoặc là một biểu thức nhận diện các nhân tố được nhân. Ví dụ: 6 tích của 2 và 3 (kết quả của phép nhân), còn

x ⋅ ( 2 + x )

{\displaystyle x\cdot (2+x)}

$x\cdot (2+x)$ là tích của

Bạn đang đọc: Tích (toán học) là gì?

{\displaystyle x}

và

( 2 + x )

{\displaystyle (2+x)}

$(2+x)$ (chỉ ra 2 nhân tố nên được nhân với nhân).

Thứ tự mà số thực hoặc số phức được nhân không ảnh hưởng tác động đến kết quả nhân ; đặc thù này gọi là tính giao hoán. Với nhân tử là ma trận toán học hoặc thành viên thuộc các số đại số phối hợp khác, tích toán học thường phụ thuộc vào vào thứ tự của nhân tử. Ví dụ, phép nhân ma trận và phép nhân trong các đại số khác nói chung là không giao hoán .Có rất nhiều loại tích khác nhau trong toán học : ngoài việc là phép nhân giữa các số, đa thức hoặc ma trận, người ta cũng định nghĩa phép nhân trên nhiều cấu trúc đại số khác nhau. Tổng quan về các loại tích khác nhau được đưa ra ở đây .

Tích của hai số

Tích của 2 số tự nhiên

3 nhân 4 bằng 12

Bạn đang đọc: Tích (toán học) là gì?

Đặt các viên đá vào một hình chữ nhật có

{\displaystyle r}

hàng và

{\displaystyle s}

cột cho ra

r ⋅ s = ∑ i = 1 s r = ∑ j = 1 r s { \ displaystyle r \ cdot s = \ sum _ { i = 1 } ^ { s } r = \ sum _ { j = 1 } ^ { r } s } $r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s$

viên đá .

Tích của 2 số nguyên

Số nguyên gồm số dương và số âm. Hai số được nhân tựa như các số tự nhiên, ngoại trừ quy tắc bổ trợ về dấu của tác dụng :

× − + − + − + − + { \ displaystyle { \ begin { array } { | c | c c | } \ hline \ times và – và + \ \ \ hline – và + và – \ \ + và – và + \ \ \ hline \ end { array } } } ${\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}$

Nói thành lời :

m nhân m ra Dương m nhân Dương ra mDương nhân m ra mDương nhân Dương ra Dương

Tích của 2 phân số

Nhân hai phân số bằng phương pháp nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số :

z n ⋅ z ′ n ′ = z ⋅ z ′ n ⋅ n ′ { \ displaystyle { \ frac { z } { n } } \ cdot { \ frac { z ‘ } { n ‘ } } = { \ frac { z \ cdot z ‘ } { n \ cdot n ‘ } } } ${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z`}{n`}}={\frac {z\cdot z`}{n\cdot n`}}$

Tích của 2 số thực

Xem Xây dựng trường số thực cho định nghĩa đúng chuẩn của tích của 2 số thực .

Tích của 2 số phức

Nhân 2 số phức bằng luật phân phối và định nghĩa

= − 1

{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}

$\mathrm {i} ^{2}=-1$ :

( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = a ⋅ c + a ⋅ d i + b ⋅ c i + b ⋅ d ⋅ i 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c ) i { \ displaystyle { \ begin { aligned } ( a + b \, \ mathrm { i } ) \ cdot ( c + d \, \ mathrm { i } ) và = a \ cdot c + a \ cdot d \, \ mathrm { i } + b \ cdot c \, \ mathrm { i } + b \ cdot d \ cdot \ mathrm { i } ^ { 2 } \ \ và = ( a \ cdot c-b \ cdot d ) + ( a \ cdot d + b \ cdot c ) \, \ mathrm { i } \ end { aligned } } } ${\begin{aligned}(a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\cdot c\,\mathrm {i} +b\cdot d\cdot \mathrm {i} ^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} \end{aligned}}$

Ý nghĩa hình học của phép nhân số phức

Biễu diễn số phức trong hệ tọa độ cực .Số phức hoàn toàn có thể được viết trong hệ tọa độ cực :

a + b i = r ⋅ ( cos ⁡ ( φ ) + i sin ⁡ ( φ ) ) = r ⋅ e i φ { \ displaystyle a + b \, \ mathrm { i } = r \ cdot ( \ cos ( \ varphi ) + \ mathrm { i } \ sin ( \ varphi ) ) = r \ cdot \ mathrm { e } ^ { \ mathrm { i } \ varphi } } $a+b\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$

Hơn thế ,

c + d i = s ⋅ ( cos ⁡ ( ψ ) + i sin ⁡ ( ψ ) ) = s ⋅ e i ψ { \ displaystyle c + d \, \ mathrm { i } = s \ cdot ( \ cos ( \ psi ) + \ mathrm { i } \ sin ( \ psi ) ) = s \ cdot \ mathrm { e } ^ { \ mathrm { i } \ psi } } $c+d\,\mathrm {i} =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i} \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }$ ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c ) i = r ⋅ s ⋅ ( cos ⁡ ( φ + ψ ) + i sin ⁡ ( φ + ψ ) ) = r ⋅ s ⋅ e i ( φ + ψ ) { \ displaystyle ( a \ cdot c-b \ cdot d ) + ( a \ cdot d + b \ cdot c ) \, \ mathrm { i } = r \ cdot s \ cdot ( \ cos ( \ varphi + \ psi ) + \ mathrm { i } \ sin ( \ varphi + \ psi ) ) = r \ cdot s \ cdot \ mathrm { e } ^ { \ mathrm { i } ( \ varphi + \ psi ) } } $(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}$

Ý nghĩa hình học là tất cả chúng ta nhân các độ dài và cộng các góc .

Tích của 2 quaternion

Tích của 2 quaternion có thể được tìm thấy trong bài viết về quaternions. Tuy nhiên cũng cần lưu ý điểm thú vị rằng

a ⋅ b

{\displaystyle a\cdot b}

$a\cdot b$ và

b ⋅ a

{\displaystyle b\cdot a}

$b\cdot a$ nói chung là phân biệt.

Tích của chuỗi số

Toán tử đại diện thay mặt tích của một chuỗi số là ký tự Hy Lạp viết hoa pi ∏ ( tựa như việc sử dụng ký tự viết hoa Sigma ∑ để đại diện thay mặt tổng ). Tích của chuỗi chỉ gồm một số ít chính là số đó. Tích của không thành phần nào được gọi là tích rỗng và bằng 1 .

Vành giao hoán

Vành giao hoán có một phép nhân .

Các lớp dư của số nguyên

Các lớp dư trong vành

{\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }

$\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ có thể cộng với nhau:

( a + N Z ) + ( b + N Z ) = a + b + N Z { \ displaystyle ( a + N \ mathbb { Z } ) + ( b + N \ mathbb { Z } ) = a + b + N \ mathbb { Z } } $(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}$

và nhân được với nhau :

( a + N Z ) ⋅ ( b + N Z ) = a ⋅ b + N Z { \ displaystyle ( a + N \ mathbb { Z } ) \ cdot ( b + N \ mathbb { Z } ) = a \ cdot b + N \ mathbb { Z } } $(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}$

Vành các hàm

Hàm số thực hoàn toàn có thể cộng và nhân nhau bằng phương pháp nhân hiệu quả của chúng :

( f + g ) ( m ) : = f ( m ) + g ( m ) { \ displaystyle ( f + g ) ( m ) : = f ( m ) + g ( m ) } $(f+g)(m):=f(m)+g(m)$ ( f ⋅ g ) ( m ) : = f ( m ) ⋅ g ( m ) { \ displaystyle ( f \ cdot g ) ( m ) : = f ( m ) \ cdot g ( m ) } $(f\cdot g)(m):=f(m)\cdot g(m)$

Tích chập của sóng vuông với chính nó được cho phép các hàm tam giácHai hàm đồng điệu hoàn toàn có thể nhân nhau theo một phương pháp khác gọi là tích chập .Nếu

∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | d t $\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{và}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,$

thì tích phân

( f ∗ g ) ( t ) : = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ⋅ g ( t − τ ) d τ { \ displaystyle ( f * g ) ( t ) \ ; : = \ int \ limits _ { – \ infty } ^ { \ infty } f ( \ tau ) \ cdot g ( t – \ tau ) \, \ mathrm { d } \ tau } $(f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau$

được định nghĩa và gọi là tích chập .Dưới đổi khác Fourier, tích chập trở thành phép nhân hàm điểm .

Vành đa thức

Tích của 2 đa thức được định nghĩa :

( ∑ i = 0 n a i X i ) ⋅ ( ∑ j = 0 m b j X j ) = ∑ k = 0 n + m c k X k { \ displaystyle \ left ( \ sum _ { i = 0 } ^ { n } a_ { i } X ^ { i } \ right ) \ cdot \ left ( \ sum _ { j = 0 } ^ { m } b_ { j } X ^ { j } \ right ) = \ sum _ { k = 0 } ^ { n + m } c_ { k } X ^ { k } } $\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}$

trong đó

∑

i + j = k

⋅

{\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}

$c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}$

Tích trong đại số tuyến tính

Phép vô hướng

Bằng định nghĩa của không gian vector, ta có thể lập tích vô hướng của bất kỳ vector nào, với ánh xạ

× V → V

{\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}

$\mathbb {R} \times V\rightarrow V$ .

Tích vô hướng

Tích chéo trong khoảng trống 3 chiều

Tích của ánh xạ tuyến tính

Tích của 2 ma trận

Tích của hàm tuyến tính như tích ma trận

Tích Tensor của khoảng trống vector

Các lớp của toàn bộ đối tượng người tiêu dùng với tích tensor

Các tích khác trong đại số tuyến tính

Tích trên các cấu trúc đại số khác

Các tích trong kim chỉ nan phân loại

Tích của 2 nhân tử