Trong toán học, ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) hay ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số nguyên là số nguyên dương lớn nhất là ước số chung của các số đó. Ví dụ, ước chung lớn nhất của 6 và 15 là 3 vì
6 : 3 = 2
{\displaystyle 6:3=2}
và
15 : 3 = 5
{\displaystyle 15:3=5}
.
Trong tiếng Anh, ước chung lớn nhất gọi là greatest common divisor (gcd), greatest common factor (gcf), highest common factor (hcf), greatest common measure (gcm), hay highest common divisor.
Trong trường hợp toàn bộ số nguyên đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của những số đó. Nếu trong những số đó có tối thiểu một vài ít bằng 0 và tối thiểu 1 số ít khác 0 thì ƯCLN của chúng bằng ƯCLN của những số khác 0 .
Ước chung lớn nhất của a0, a1, a2,… an được ký hiệu là ƯCLN(a0, a1, a2,… an) hoặc (a0, a1, a2,… an).
Ước số chung lớn nhất là gì?
Tìm ước chung lớn nhất của 27 và 45 ?Ta có :
Các ước của 27 là 1, 3, 9, 27 { \ displaystyle 1,3,9,27 }
Các ước của 45 là 1, 3, 5, 9, 15, 45 { \ displaystyle 1,3,5,9,15,45 }
Những số nằm trong cả hai list được gọi là những ước chung của 27 và 45 :
1 , 3 , 9
{\displaystyle 1,3,9}
Trong đó số lớn nhất là 9. Vậy 9 là ước chung lớn nhất của 27 và 45. Viết UCLN ( 27,45 ) = 9
Số nguyên tố cùng nhau
Các số được gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Chẳng hạn, 9 và 28 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ước chung lớn nhất được dùng để đưa một phân số về dạng phân số tối giản. Chẳng hạn, ƯCLN ( 42, 56 ) = 14, do đó ,
42 56 = 3 ⋅ 14 4 ⋅ 14 = 3 4. { \ displaystyle { 42 \ over 56 } = { 3 \ cdot 14 \ over 4 \ cdot 14 } = { 3 \ over 4 }. }
Các đặc thù
Mọi ước chung của các số là ước của ƯCLN của các só đó.Với các số nguyên a0, a1, a2,… an, ƯCLN(a0, a1, a2,… an) có thể được định nghĩa tương đương như số nguyên dương d nhỏ nhất có dạng d = ∑ k = 0 n a k x k { \ displaystyle \ sum _ { k = 0 } ^ { n } a_ { k } x_ { k } }
xk là các số nguyên. Định lý này được gọi là đẳng thức Bézout. Các số xk có thể tính nhờ Giải thuật Euclid mở rộng.ƯCLN(a, 0) =|a|, với mọi a ≠ 0, vì mọi số khác 0 bất kỳ là ước của 0, và ước lớn nhất của a là|a|. Đây là trường hợp cơ sở trong thuật toán Euclid.Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN(a, b) = d, thì a/d là ước của c.Nếu m là số nguyên dương, thì ƯCLN(m·a0, m·a1, m·a2,…m·an) = m·ƯCLN(a0, a1, a2,… an).Nếu m là số nguyên bất kỳ, thì ƯCLN(a + m·b, b) = ƯCLN(a, b). Nếu m ước chung (khác 0) của a và b, thì UCLN(a/m, b/m) = ƯCLN(a, b)/m.ƯCLN là một hàm có tính nhân theo nghĩa sau: nếu các số a1, a2,…,an là các số nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN(a1·a2·…an, b) = ƯCLN(a1, b)·ƯCLN (a2, b)·…ƯCLN (an, b).ƯCLN là hàm giao hoán: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).ƯCLN là hàm kết hợp: ƯCLN(a,b,c)= ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).ƯCLN (a, b) quan hệ chặt chẽ với BCNN(a, b): ta có
ƯCLN(a, b)·BCNN(a, b) = a·b.Công thức này thường được dùng để tính BCNN của 2 số. Dạng khác của mối quan hệ này là tính chất phân phối:BCNN(a, ƯCLN(a0, a1, a2,… an)) = ƯCLN(BCNN(a, a0), BCNN(a, a1), BCNN(a,a2),…,BCNN(a,an)).
Nếu dùng định nghĩa ƯCLN(0, 0) = 0 và BCNN(0, 0) = 0 thì khi đó tập các số tự nhiên trở thành một dàn đầy đủ phân phối với ƯCLN.Trong Hệ tọa độ Descartes, ƯCLN(a, b) biểu diễn số các điểm với tọa độ nguyên trên đoạn thẳng nối các điểm (0, 0) và (a, b), trừ chính điểm (0, 0).
ƯCLN của 2 hay nhiều số hoàn toàn có thể tìm được bằng cách nghiên cứu và phân tích những số đó ra thừa số nguyên tố, chọn những thừa số nguyên tố chung của toàn bộ những số đó. Khi đó ƯCLN cần tìm là tích của những thừa số sau khi nâng lũy thừa bậc nhỏ nhất của mỗi thừa số .VD : Để tìm ƯCLN ( 18,84 ), ta nghiên cứu và phân tích 18 = 2 · 32 và 84 = 22 · 3 · 7 và nhận xét rằng những thừa số chung với số mũ dương nhỏ nhất của hai số này là 2 · 3 ; do đó ƯCLN ( 18,84 ) = 6 .Nếu không có thừa số nguyên tố chung nào thì xem như ƯCLN của những số đó là 1 và những số đó được gọi là những số nguyên tố cùng nhau .VD : 10 = 2 · 5 và 9 = 32 không có thừa số nguyên tố nào chung nên 9 và 10 là 2 số nguyên tố cùng nhau và ƯCLN ( 9,10 ) = 1
Trên thực tế cách này chỉ dùng cho các số nhỏ. Việc phân tích các số lớn ra thừa số nguyên tố mất rất nhiều thời gian.
Để tìm ƯCLN của 2 số tự nhiên thì giải pháp hiệu suất cao là giải thuật Euclid dựa trên dãy liên tục những phép chia có dư .
Nếu a và b là các số khác không, thì ước chung lớn nhất của a và b có thể tính qua bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b:
U C L N ( a , b ) =
a ⋅ b
B C N N ( a , b )
{\displaystyle UCLN(a,b)={\frac {a\cdot b}{BCNN(a,b)}}}
