Một Hệ tọa độ Descartes xác định vị trí của một điểm (point) ở trên một mặt phẳng (plane) cho trước bằng một cặp số tọa độ (x, y). Trong đó, x và y là 2 giá trị đã được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đường thẳng đó gọi chính là trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn giản là trục); trục nằm ngang gọi chính là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi chính là gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị chính là (0, 0).
Hệ tọa độ này chính là ý tưởng của nhà toán học , và triết học người Pháp René Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã Chia sẻ ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt chỉ bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.
Descartes chính là người đã có công hợp nhất đại số , hình học Euclide. Công trình này của ông có ảnh hưởng ảnh hưởng đến sự tăng trưởng của ngành hình học giải tích, tích phân, , và khoa học map .
Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ có thể được mở rộng ra không gian ba chiều (three-dimensional space) chỉ bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều có thể đã được xây dựng chỉ bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục).
Bạn đang đọc: Hệ tọa độ Descartes – Wikipedia tiếng Việt
Hệ tọa độ Descartes – Wikipedia tiếng Việt
Hệ tọa độ ở trên mặt phẳng ( 2 chiều )
Là 2 trục vuông góc x’Ox và y’Oy mà ở trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị
i →
\displaystyle \vec i
,
j →
\displaystyle \vec j
sao cho độ dài của 2 véc-tơ này bằng nhau
Trục x’Ox ( hay là trục Ox ) gọi là trục hoành .Trục y’Oy ( hay trục Oy ) gọi là trục tung .Điểm O được gọi là gốc tọa độ
(màu xanh lá cây), (-3,1) (màu xanh đỏ), (-1.5,-2.5) (màu xanh da trời) , và (0,0), gốc tọa độ, (màu tím).Hình 1 – Hệ tọa độ Đề-Các với bốn điểm lần lượt có tọa độ : ( 2,3 ), ( – 3,1 ), ( – 1.5, – 2.5 ) và ( 0,0 ), gốc tọa độ ,
2 + y2 = 4.Hình 2 – Hệ tọa độ Đề-Các với một đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và nửa đường kính chỉ bằng 2. Đường tròn này có phương trình : x + y = 4 .
Hình 3 – Hệ tọa độ Đề-Các với bốn góc phần tư. Các mũi tên ở hai đầu của mỗi trục nhằm mục đích minh họa rằng các trục này trải dài vô tận theo hướng của mũi tên .
Tọa độ vecto
Nếu
a →
= x
i →
+ y
j →
\displaystyle \vec a=x\vec i+y\vec j
a →
\displaystyle \vec a
a →
\displaystyle \vec a
.
Ký hiệu
a →
= ( x ; y )
\displaystyle \vec a=(x;y)
Tọa độ điểm
Mỗi điểm M được xác lập bởi một cặp số M ( x, y ), đã được gọi là tọa độ điểm M, x đã được gọi chính là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm MTính chất :
∀ x ≠ 0, A ( x ; 0 ) ∈ O x \ displaystyle \ forall x \ neq 0, A ( x ; 0 ) \ in Ox 
Tìm tọa độ của vecto biết tọa độ điểm đầu , cuối
Cho 2 điểm
A (
x
A
;
y
A
)
\displaystyle A(x_A;y_A)
B (
x
B
;
y
B
)
\displaystyle B(x_B;y_B)
A B
→
=
(
x
B
−
x
A
;
y
B
−
y
A
)
\displaystyle \overrightarrow AB=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)
Độ dài vecto , và khoảng cách giữa 2 điểm
Cho
a →
= (
a
1
;
a
2
)
\displaystyle \vec a=(a_1;a_2)
|
a →
|
=
a
1
2
+
a
2
2
\displaystyle \left\vert \vec a\right\vert =\sqrt a_1^2+a_2^2
a →
\displaystyle \vec a
Cho 2 điểm
A (
x
A
;
y
A
)
\displaystyle A(x_A;y_A)
, và
B (
x
B
;
y
B
)
\displaystyle B(x_B;y_B)
, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay là khoảng cách giữa A , B chính là
A B =
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
\displaystyle AB=\sqrt \left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2
Góc giữa 2 vecto
Cho
a →
= (
a
1
;
a
2
)
\displaystyle \vec a=(a_1;a_2)
và
b →
= (
b
1
;
b
2
)
\displaystyle \vec b=(b_1;b_2)
α
\displaystyle \alpha
a →
\displaystyle \vec a
, và
b →
\displaystyle \vec b
cos α =
a
1
b
1
+
a
2
b
2
(
a
1
2
+
a
2
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
)
\displaystyle \cos \alpha =a_1b_1+a_2b_2 \over \sqrt \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)
Một số biểu thức tọa độ
Cho
a →
= (
a
1
;
a
2
)
\displaystyle \vec a=(a_1;a_2)
ta có
k
a →
= ( k
a
1
; k
a
2
)
\displaystyle k\vec a=(ka_1;ka_2)
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ) \ displaystyle \ vec a = ( a_ 1 ; a_ 2 ) , b → = ( b 1 ; b 2 ) \ displaystyle \ vec b = ( b_ 1 ; b_ 2 ) ta có
a → + b → = ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) \ displaystyle \ vec a + \ vec b = ( a_ 1 + b_ 1 ; a_ 2 + b_ 2 ) 
Cho đoạn thẳng AB có
A (
x
A
;
y
A
)
\displaystyle A(x_A;y_A)
,
B (
x
B
;
y
B
)
\displaystyle B(x_B;y_B)
, Khi đó
I
(
x
A
+
x
B
2
;
y
A
+
y
B
2
)
\displaystyle I\left(x_A+x_B \over 2;y_A+y_B \over 2\right)
Cho
△ A B C
\displaystyle \bigtriangleup ABC
A (
x
A
;
y
A
)
\displaystyle A(x_A;y_A)
,
B (
x
B
;
y
B
)
\displaystyle B(x_B;y_B)
, và
C (
x
C
;
y
C
)
\displaystyle C(x_C;y_C)
G
(
x
A
+
x
B
+
x
C
3
;
y
A
+
y
B
+
y
C
3
)
\displaystyle G\left(x_A+x_B+x_C \over 3;y_A+y_B+y_C \over 3\right)
△ A B C
\displaystyle \bigtriangleup ABC
Hệ tọa độ trong khoảng trống ( 3 chiều )
Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x’Ox, y’Oy, z’Oz mà trên đó đã chọn 3 véc-tơ đơn vị
i →
\displaystyle \vec i
,
j →
\displaystyle \vec j
,
k →
\displaystyle \vec k
Trục x’Ox ( hay trục Ox ) gọi chính là trục hoành .Trục y’Oy ( hay là trục Oy ) gọi là trục tung .
Trục z’Oz (hay trục Oz) gọi chính là trục cao.
3*** Ánh sáng chính là gì? Ánh sáng đơn sắc chính là gì?
Điểm O được gọi chính là gốc tọa độ3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ chính là Oxy, Oyz , và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một
y có chiều chạy xa người quan sát.Tranh 4 – Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trụccó chiều chạy xa người quan sát .
x có chiều chạy về phía người quan sát.Tranh 5 – Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trụccó chiều chạy về phía người quan sát .
Tranh 6 – The left-handed orientation is shown on the left, and the right-handed on the right .
Tranh 7 – The right-handed Cartesian coordinate system indicating the coordinate planes .
Tọa độ của điểm
Trong khoảng trống, mỗi điểm M được xác lập bởi bộ số M ( x, y, z ). , và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi chính là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi chính là cao độ của điểm M .Tính chất
∀ x y ≠ 0, A ( x, y, 0 ) ∈ O x y \ displaystyle \ forall xy \ neq 0, A ( x, y, 0 ) \ in Oxy 
Tọa độ của vector
Trong chưa gian, cho vectơ
a →
= x
i →
+ y
j →
+ z
k →
\displaystyle \vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k
a →
\displaystyle \vec a
.
Ký hiệu:
a →
= ( x ; y ; z )
\displaystyle \vec a=(x;y;z)
Liên hệ giữa tọa độ vectơ , tọa độ điểm
Cho 2 điểm
A (
x
A
;
y
A
;
z
A
)
\displaystyle A(x_A;y_A;z_A)
B (
x
B
;
y
B
;
z
B
)
\displaystyle B(x_B;y_B;z_B)
A B
→
=
(
x
B
−
x
A
;
y
B
−
y
A
;
z
B
−
z
A
)
\displaystyle \overrightarrow AB=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)
Cho điểm
M (
x
M
;
y
M
;
z
M
)
\displaystyle M(x_M;y_M;z_M)
O M
→
= (
x
M
;
y
M
;
z
M
)
\displaystyle \vec OM=(x_M;y_M;z_M)
Độ dài vecto , và khoảng cách giữa 2 điểm
Cho
a →
= (
a
1
;
a
2
;
a
3
)
\displaystyle \vec a=(a_1;a_2;a_3)
|
a →
|
=
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
\displaystyle \left\vert \vec a\right\vert =\sqrt a_1^2+a_2^2+a_3^2
a →
\displaystyle \vec a
Cho 2 điểm
A (
x
A
;
y
A
;
z
A
)
\displaystyle A(x_A;y_A;z_A)
và
B (
x
B
;
y
B
;
z
B
)
\displaystyle B(x_B;y_B;z_B)
, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay là khoảng cách giữa A , B là
A B =
(
x
B
−
x
A
)
2
+ (
y
B
−
y
A
)
2
+ (
z
B
−
z
A
)
2
\displaystyle AB=\sqrt (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2
Góc giữa 2 vecto
Cho
a →
= (
a
1
;
a
2
;
a
3
)
\displaystyle \vec a=(a_1;a_2;a_3)
,
b →
= (
b
1
;
b
2
;
b
3
)
\displaystyle \vec b=(b_1;b_2;b_3)
α
\displaystyle \alpha
chính là góc giữa 2 vecto
a →
\displaystyle \vec a
,
b →
\displaystyle \vec b
. Khi đó
cos ( α ) =
a →
.
b →
|
a →
|
|
b →
|
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
) (
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
)
\displaystyle \cos(\alpha )=\vec a.\vec b \over \left\vert \vec a\right\vert \left\vert \vec b\right\vert =a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \over \sqrt (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)
sin α =
|
[
a →
;
b →
]
|
|
a →
|
|
b →
|
\displaystyle \sin \alpha =\left\vert [\vec a;\vec b]\right\vert \over \left\vert \vec a\right\vert \left\vert \vec b\right\vert
![\displaystyle \sin \alpha =\left\vert [\vec a;\vec b]\right\vert \over \left\vert \vec a\right\vert \left\vert \vec b\right\vert](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2910d5b647b60cec16f1fd710404a3c4a9bcb73)
Một số biểu thức tọa độ
Cho
a →
= (
a
1
;
a
2
;
a
3
)
\displaystyle \vec a=(a_1;a_2;a_3)
ta có
k
a →
= ( k
a
1
; k
a
2
; k
a
3
)
\displaystyle k\vec a=(ka_1;ka_2;ka_3)
Cho a → = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) \ displaystyle \ vec a = ( a_ 1 ; a_ 2 ; a_ 3 ) , và b → = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) \ displaystyle \ vec b = ( b_ 1 ; b_ 2 ; b_ 3 ) ta có
a → + b → = ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ; a 3 + b 3 ) \ displaystyle \ vec a + \ vec b = ( a_ 1 + b_ 1 ; a_ 2 + b_ 2 ; a_ 3 + b_ 3 ) 
[
a →
,
b →
]
=
(
|
a
2
a
3
b
2
b
3
|
;
|
a
3
a
1
b
3
b
1
|
;
|
a
1
a
2
b
1
b
2
|
)
\displaystyle \left[\vec a,\vec b\right]=\big (\beginvmatrixa_2&a_3\\b_2&b_3\endvmatrix;\beginvmatrixa_3&a_1\\b_3&b_1\endvmatrix;\beginvmatrixa_1&a_2\\b_1&b_2\endvmatrix)
![\displaystyle \left[\vec a,\vec b\right]=\big (\beginvmatrixa_2&a_3\\b_2&b_3\endvmatrix;\beginvmatrixa_3&a_1\\b_3&b_1\endvmatrix;\beginvmatrixa_1&a_2\\b_1&b_2\endvmatrix)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c5f379d8c759bec8472dfc1ad67d153e5761d4)
Cho đoạn thẳng AB có
A (
x
A
;
y
A
;
z
A
)
\displaystyle A(x_A;y_A;z_A)
,
B (
x
B
;
y
B
;
z
B
)
\displaystyle B(x_B;y_B;z_B)
, Khi đó
I
(
x
A
+
x
B
2
;
y
A
+
y
B
2
;
z
A
+
z
B
2
)
\displaystyle I\left(x_A+x_B \over 2;y_A+y_B \over 2;z_A+z_B \over 2\right)
Cho
△ A B C
\displaystyle \bigtriangleup ABC
có
A (
x
A
;
y
A
;
z
A
)
\displaystyle A(x_A;y_A;z_A)
,
B (
x
B
;
y
B
;
z
B
)
\displaystyle B(x_B;y_B;z_B)
và
C (
x
C
;
y
C
;
z
C
)
\displaystyle C(x_C;y_C;z_C)
G
(
x
A
+
x
B
+
x
C
3
;
y
A
+
y
B
+
y
C
3
;
z
A
+
z
B
+
z
C
3
)
\displaystyle G\left(x_A+x_B+x_C \over 3;y_A+y_B+y_C \over 3;z_A+z_B+z_C \over 3\right)
△ A B C
\displaystyle \bigtriangleup ABC
Sách giáo khoa Toán 7 tập 1Sách giáo khoa Hình học lớp 10Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng caoSách giáo khoa Hình học lớp 12Sách giáo khoa Hình học lớp 12 nâng cao